Formelsammlung (alle Formeln kompakt)

Alle prüfungsrelevanten Formeln auf einen Blick. Ausführliche Erklärungen: siehe die jeweiligen Kapitel. Ergänzung zu den Cliff Notes.

Kein Taschenrechner in der Klausur: Zahlen sind so gewählt, dass sie glatt aufgehen. Immer zuerst in µs/ns umrechnen, dann teilen.

Timer / Counter (Kap. 5)

Dauer eines Zählschritts:

T_{step} = \frac{\text{Prescaler}}{f_{CLK}}

Periodendauer und Frequenz des erzeugten Signals (mit Reset-Register RC):

T_A = \frac{RC \cdot \text{Prescaler}}{f_{CLK}} \qquad f_A = \frac{f_{CLK}}{\text{Prescaler} \cdot RC}

Registerwert für gewünschte Frequenz / Periode:

RC = \frac{f_{CLK}}{\text{Prescaler} \cdot f_A} = \frac{T_A}{T_{step}}

Tastverhältnis (Duty Cycle) bei PWM (High-Anteil):

D = \frac{RA}{RC} \quad\Rightarrow\quad RA = D \cdot RC

Zeitmessung im Capture-Mode (Differenz zweier Register):

T = \frac{RB - RA}{\text{Prescaler} \cdot f_{CLK}}

Overflow-Zeit (ohne RC, volle Bitbreite):

T_{ovf} = \frac{2^{n} \cdot \text{Prescaler}}{f_{CLK}}

Optimalen Prescaler wählen (max. Auflösung): idealen Teiler berechnen, dann nächstgrößeren verfügbaren Wert nehmen:

\text{Prescaler}_{ideal} = \frac{f_{CLK}}{f_A \cdot 2^{n}}

Verfügbare Prescaler (AT91/SAM3X): 2, 8, 32, 128, 1024. Merke: kleiner Prescaler = größeres RC = feinere Auflösung, aber RC muss $\le 2^{n}$ bleiben.

Signal im Zeit-/Frequenzbereich (Kap. 7)

Zusammenhang Periode, Frequenz, Kreisfrequenz:

T = \frac{1}{f} \qquad \omega = 2\pi f \qquad y(t) = A \cdot \sin(2\pi f t) = A \cdot \sin(\omega t)

Aus einer Signalkomponente $\sin(k\pi t)$ die Frequenz ablesen:

f = \frac{k\pi}{2\pi} = \frac{k}{2} \ \text{[Hz]}

Abtastung & Wandlung (Kap. 7)

Abtasttheorem (Nyquist/Shannon), strikt größer:

f_s > 2 \cdot f_{max}

Alias-Frequenz bei Unterabtastung (Faustformel):

f_{alias} = \lvert f_s - f \rvert

ADC-Auflösung (Spannungsbereich $U$ , Wortbreite $n$ Bit):

\Delta U = \frac{U}{2^{n}}

Maximaler Quantisierungsfehler:

e_{max} = \tfrac{1}{2}\,\text{LSB} = \frac{U}{2^{n+1}}

Erforderliche Wortbreite für geforderte Auflösung $\Delta U$ :

2^{n} \ge \frac{U}{\Delta U} \quad\Rightarrow\quad n \ge \log_2\!\left(\frac{U}{\Delta U}\right)

Datenvolumen einer Abtastung:

D = t \cdot f_s \cdot \frac{\text{Bits}}{8} \ \text{[Byte]}

Gleitender Mittelwert (Ordnung $n{-}1$ ), wirkt als Tiefpass:

m_j = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} x_{j-i}

Serielle Schnittstelle / Baudrate (Kap. 4)

Bitdauer aus Baudrate:

t_{bit} = \frac{1}{\text{Baudrate}}

Zeichenrahmen-Länge (asynchron): Start + Datenbits + optional Parität + Stoppbit(s). Beispiel 8N1 = 1 + 8 + 0 + 1 = 10 Bit pro Zeichen.

Zeichen pro Sekunde:

\text{Zeichen/s} = \frac{\text{Baudrate}}{\text{Bits pro Rahmen}}

Leitungscodes & Fehlererkennung (Kap. 10)

Baudrate vs. Bitrate:

\text{Baudrate} = \text{Symbole/s}

NRZ / NRZI: 1 Symbol = 1 Bit -> Baudrate = Bitrate
Manchester / RZ: 1 Bit = 2 Symbole -> Baudrate = 2 x Bitrate

Hamming-Distanz $d$ (Anzahl unterschiedlicher Bitpositionen, via XOR + Einsen zählen):

\text{Fehler erkennen: } d \ge e + 1 \qquad \text{Fehler korrigieren: } d \ge 2e + 1

CRC (Modulo-2 / XOR-Arithmetik): Daten um Grad des Generatorpolynoms $g$ nach links schieben (mit Nullen auffüllen), durch $g$ teilen; Rest = Prüfbits (FCS). Empfänger teilt (Daten + FCS) durch $g$ : Rest 0 -> gültig. Anzahl Iterationen der Division = Anzahl Datenbits (inkl. angehängter Nullen minus Gradabgleich, praktisch = Länge der Nutzdaten).

Generatorpolynom binär: Term $x^k$ setzt Bit $k$ . Beispiel $x^4 + x + 1 = 10011$ .

Power Management (Kap. 2)

Peripheral ID -> Register/Bit (SAM3X):

PID $0..31$ : PMC_PCER0, Bit = PID
PID $32..44$ : PMC_PCER1, Bit = PID $-\,32$

\text{PMC->PMC\_PCER0} = 1 \ll \text{PID} \quad (\text{PID} < 32)

Einheiten-Spickzettel

Größe	Umrechnung
1 ms	$10^{-3}$ s $= 1000$ µs
1 µs	$10^{-6}$ s $= 1000$ ns
1 ns	$10^{-9}$ s
1 MHz	$10^6$ Hz -> Periode 1 µs
1 kHz	$10^3$ Hz -> Periode 1 ms
$2^{10}$	1024
$2^{16}$	65 536
$2^{32}$	4 294 967 296

Zurück: Cliff Notes · Timer · Signalverarbeitung · Übungen