Kapitel 7 - Signalverarbeitung (klausurkritisch)

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Inhalt

  1. Zeit- vs. Frequenzbereich
  2. Kreisfunktion & Fourier
  3. Abtasttheorem & Aliasing
  4. Oversampling & Mittelwert
  5. Gleitender Mittelwert / Tiefpass
  6. AD-Wandlung
  7. DA-Wandlung
  8. Datenvolumen
  9. Prüfungsrelevanz

1. Zeit- vs. Frequenzbereich

ZeitbereichFrequenzbereich (Spektralbereich)
x-Achse = Zeit, y-Achse = Messgrößex-Achse = Frequenz, y-Achse = Amplitude/Intensität
vertraute Form (Oszilloskop)sinnvoll für periodische Signale

Analoge Signale (Audio, Schwingungen, Temperatur, Abstand, Geschwindigkeit; Stellgrößen wie Drehzahl, Servowinkel) lassen sich in beiden Bereichen analysieren.

2. Kreisfunktion & Fourier

Sinus-Grundform:

y(t)=A⋅sin⁡(2πf t)=A⋅sin⁡(ωt),ω=2πf,f=1Ty(t) = A\cdot\sin(2\pi f\, t) = A\cdot\sin(\omega t),\qquad \omega = 2\pi f,\qquad f = \frac1T
  • Kreisfrequenz ω = 2πf.
  • Beispiel: T = 0,5 s → f = 2 Hz → y = A·sin(2π·2·t) = A·sin(4π t).

Fourier: Jedes periodische Signal = Summe von Sinus-/Kosinusfunktionen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind (Grundfrequenz + Oberwellen).

  • Fourier-Analyse: Zeit → Frequenz. Fourier-Synthese: Frequenz → Zeit (Umkehrung).
  • Periodisches Signal → diskretes Spektrum (Linien). Nicht-periodisches → kontinuierliches Spektrum.

Klausur-Kernaufgabe (KL20 4.1–4.8 / ALT): Spektrum (Frequenz-Amplituden-Diagramm) ↔ Zeitfunktion.

  • Frequenz → Zeit: Jede Linie bei Frequenz f_k mit Amplitude A_k liefert einen Summanden A_k·sin(2π f_k t). Gesamt: f(t) = Σ A_k·sin(2π f_k t).
  • Umgekehrt (Komponente enthalten?): Bei sin(ω t) ist f = ω/(2π). Für sin(25π t) → f = 12,5 Hz; für sin(100π t) → f = 50 Hz. Nur wenn diese Frequenz im Diagramm eine Linie hat, ist die Komponente mit der dortigen Amplitude enthalten (sonst Amplitude 0).

Merktabelle „sin(kπ·t) → Frequenz": f = k/2 Hz. Also sin(50π t) = 25 Hz, sin(300π t) = 150 Hz usw.

3. Abtasttheorem (Nyquist) & Aliasing

Abtasttheorem von Shannon (Nyquist-Kriterium):

fs>2⋅fmax\boxed{f_s > 2\cdot f_{max}}

Die Abtastfrequenz f_s muss mehr als doppelt so groß sein wie die höchste Frequenz f_max im Signal, um es korrekt zu rekonstruieren.

Aliasing: Wird f_s zu klein gewählt, entstehen Geisterfrequenzen - das rekonstruierte Signal ist ein anderes als das Original.

  • 10 Hz Signal, mit 11 Hz abgetastet → erscheint als 1 Hz.
  • 10 Hz mit 12 Hz → 2 Hz. 10 Hz mit 5 Hz → 0 Hz.
  • Faustregel Alias-Frequenz: |f_signal − n·f_s| (nächstes Vielfaches).

„mehr als" (>) ist strikt: genau f_s = 2·f_max reicht nicht. Für ein Signal mit höchster Komponente 400 Hz muss f_s > 800 Hz sein (z. B. 850 Hz), nicht 800 Hz.

Tiefpass durch Abtastwahl (KL20 4.10): Will man bewusst die höchste Komponente weglassen (Tiefpass-Wirkung), wählt man f_s so, dass es für alle außer der höchsten Frequenz das Kriterium erfüllt (also 2·f_zweithöchste < f_s ≤ 2·f_höchste).

4. Oversampling & Mittelwertbildung

  • Oversampling (Überabtastung): Abtastung mit einem Vielfachen der nötigen Nyquist-Frequenz (oft Zweierpotenzen).
  • Vorteile: einfachere Anti-Aliasing-Filter, höherer Signal-Rausch-Abstand (SNR), Abtastung mit geringerer Auflösung + Berechnung höherer effektiver Auflösung.
  • Mittelwert über n Werte: m = (1/n)·Σ x_i. Erhöht effektive Auflösung bei reduzierter Abtastfrequenz. Erzeugt Verzögerung (erst nach n Werten verfügbar).

5. Gleitender Mittelwert (Moving Average) / Tiefpass

mMA(t)=1n∑i=0n−1x(t−i)m_{MA}(t) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} x(t-i)
  • Rauschen = hohe Frequenzanteile (Streuung durch Messprinzip / begrenzte Genauigkeit).
  • Gleitender Mittelwert filtert hohe Frequenzen → glättet (Tiefpass) bei gleichbleibender Auflösung.
  • Nachteil: sprunghafte Änderungen werden verzögert sichtbar. Für die ersten n−1 Werte gibt es keinen MA.
  • Ordnung = n−1 (wie bei Filtern). Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen durch, dämpft hohe (Peaks ≈ hohe Frequenzen).

6. Analog-Digital-Wandlung (ADC)

Wandelt kontinuierliche Spannung in binäres Wort. Sample & Hold: Wert zum Abtastzeitpunkt halten bis Wandlung fertig.

Auflösung (kleinste erfassbare Änderung), n Bit, Bereich U:

Auflo¨sung=U2n\text{Auflösung} = \frac{U}{2^n}
  • Beispiel: n = 10, U = 10 V → 10 V / 1024 ≈ 9,8 mV.
  • Quantisierungsfehler: max. ½ LSB (halbes niederwertigstes Bit).

Wortlänge bestimmen (Hörsaalübung [Q: SV S. 25]): Thermoelement 0,5 mV/°C, Bereich 0–200 °C, geforderte Auflösung 0,5 °C.

  • Spannungsbereich = 200 °C · 0,5 mV/°C = 100 mV. Auflösung in Spannung = 0,5 °C · 0,5 mV = 0,25 mV.
  • Stufen nötig: 100 mV / 0,25 mV = 400 → 2^n ≥ 400 → n = 9 Bit (2^9 = 512 ≥ 400).

Wandlerverfahren:

VerfahrenPrinzipEigenschaft
ZählverfahrenLSB-Schritte aufaddieren (Treppenspannung) bis ≥ Eingang; Zähler erzeugt Schrittegeringer Aufwand; langsam, Zeit abhängig vom Eingangswert
Wägeverfahren (Successive Approximation)bitserieller Vergleich, beginnend mit MSB (Balkenwaage)effizienter, konstante Zeit (n Schritte)

Zählverfahren ist NICHT schneller als Wägeverfahren. Klausur-Falschaussage: „Zählverfahren ist um Faktor log(N) schneller" → falsch. Das Wägeverfahren (MSB zuerst) ist i. d. R. schneller/konstant. ADC ≠ DAC: AD wandelt analog → digital (Sensor einlesen). Falschaussage „AD-Wandlung braucht man, um digitale Signale in Analogsignale umzusetzen" beschreibt DAC.

7. Digital-Analog-Wandlung (DAC)

Eingang = binäres Wort → Ausgang = analoge Spannung (gewichtete Summe der gesetzten Bits). Beispiel Regelventil (voll offen bei 6 V).

Auflösung DAC (KL20-ähnlich): 8-Bit, 6 V → 1-Bit-Änderung = 6 V / 2^8 = 6 V/256 ≈ 23,4 mV.

Verfahren:

  • Direktes Verfahren: alle Ausgangswerte per Spannungsteiler bereitgestellt, mit Multiplexer (1-aus-n) auswählen. Schnell, aber sehr aufwändig → nur wenige Bits.
  • Paralleles Verfahren / R2R-Netzwerk: Widerstandsnetzwerk aus nur R und 2R; pro Bit ein gewichteter Schalter. Skaliert gut mit Bitzahl.

8. Datenvolumen

Datenmenge=Dauer×fs×BitSample\text{Datenmenge} = \text{Dauer} \times f_s \times \frac{\text{Bit}}{\text{Sample}}
  • Hifi: 60 s × 44100 /s × 16 bit = 5292 kByte (hörbar bis ~20 kHz).
  • Telefon/ISDN: 60 s × 8000 /s × 8 bit = 480 kByte. → Hifi ~11× teurer.

KL20 4.11: f_s = 800 Hz, 16-Bit (=2 Byte), 10 s → 800 · 10 · 2 = 16 000 Byte.

Prüfungsrelevanz

  • Fourier-Umrechnung: Spektrum ↔ f(t)=ΣA_k sin(2πf_k t); sin(kπt) → f=k/2 Hz.
  • Abtasttheorem f_s > 2·f_max (strikt!) + Aliasing-Berechnung; Tiefpass-durch-Abtastwahl.
  • ADC-Auflösung U/2^n, Quantisierungsfehler ½ LSB, Wortlänge bestimmen.
  • Zähl- vs. Wägeverfahren (MSB zuerst, Wägeverfahren schneller).
  • Datenmenge = Dauer·f_s·Byte/Sample.
  • Gleitender Mittelwert = Tiefpass, glättet, verzögert.

Typische Fehler: ≥ statt > beim Abtasttheorem · Bit vs. Byte bei Datenmenge (16 Bit = 2 Byte!) · Zählverfahren für schnell halten · ADC/DAC verwechseln · beim Ultraschall Faktor 2 (siehe Kap. 5).

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